Hoe rekent de Computer (CPU en FPU) met Binair Rekenen
Hoe rekent een computer CPU optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, machtsverheffing, vierkantswortel
Een CPU rekent alles uiteindelijk met hele simpele bouwstenen: bits (0 en 1) Binair, logische schakelingen en klokpulsen. Hieronder leg ik per bewerking uit hoe dat intern gebeurt, stap voor stap, zonder te technisch te worden.
Download een Excelfile (Gezipt) voor omvormen van Decimaal > Binair en van Binair > Decimaal
1️⃣ Optellen
Een CPU telt op in binair (0 en 1):
.. 1011 (11)
+ 0101 (5)
———-
10000 (16)
Half-adder & Full-adder
Half-adder: telt 2 bits op
Full-adder: telt 2 bits + een carry (overdracht) op
Een 64-bit CPU heeft 64 full-adders achter elkaar.
Deze zijn opgebouwd uit logische poorten:
– AND
– OR
– XOR
2️⃣ Aftrekken
Aftrekken = optellen met negatieve getallen
Two’s complement
CPU’s gebruiken two’s complement:
1ste – Keer bits om
2de -Tel 1 erbij op
Voorbeeld:
5 – 3 = 2
5 = 00000101
-3 = 11111101 (two’s complement van 00000011)
Dan:
5 + (-3) = 2 (00000101 (5) + 11111101 (-3)= 00000010 (2)
De zelfde optel hardware wordt gebruikt!
3️⃣ Vermenigvuldigen
Vermenigvuldigen = herhaald optellen:
6 × 4 = 6 + 6 + 6 + 6
In hardware:
CPU gebruikt:
– Shift (schuiven)
– Optellen
Moderne CPU’s hebben een multiplier unit die dit extreem snel parallel doet.
Voorbeeld:
13 × 3 = 13+13+13 ((13 schift 1 keer) + 13)
00001101 = 13
00011010 = 26 (schift van 00001101 (13) alle bits 1 pos naar Links = 13+13)
00100111 = 39 (Bij 00011010 (26) tellen we 00001101 (13) bij op geeft 00100111(39))
4️⃣ Delen
Delen = herhaald aftrekken + verschuiven
Voorbeeld:
20 ÷ 4 = 20 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 = 0 (Heb 5 keer 4 moet aftrekken om op 0 te komen dus uitkomst = 5
In hardware
– Vergelijken
– Aftrekken
– Bits schuiven
Dit kost meer klokcycli dan optellen of vermenigvuldigen.
5️⃣ Machtverheffing (bijv. xⁿ)
Integer machten
2³ = 2 × 2 × 2
CPU doet:
– Herhaald vermenigvuldigen
– of exponentiation by squaring (sneller)
Wordt meestal door software geregeld, niet speciale hardware.
Voorbeeld:
x⁸ = ((x²)²)²
2⁸ = ((2²)²)² = (((2×2)x(2×2))x((2×2)x(2×2)))
6️⃣ Vierkantswortel
Geen simpele hardware-truc De moeilijkste van alle berekeningen
Vierkantswortel gebeurt via benaderingen.
Veelgebruikte methodes:
Newton-Raphson methode
Digit-by-digit algoritme
Voorbeeld Newton:
xₙ₊₁ = (xₙ + a/xₙ) / 2
CPU herhaalt:
Delen
Optellen
Moderne CPU’s hebben soms een sqrt-instructie in de FPU (floating-point unit).
🔢 Floating-point (kommagetallen)
Kommagetallen gebruiken:
– IEEE 754 standaard
– Aparte FPU
Berekeningen zijn complexer dan bij gehele getallen.
Bijvoorbeeld:
3,14 = teken + exponent + mantisse
🧠 Samenvatting
| Bewerking | Hoe CPU het doet |
| Optellen | Logische poorten |
| Aftrekken | Two’s complement |
| Vermenigvuldigen | Shift + optellen |
| Delen | Shift + aftrekken |
| Macht | Herhaald vermenigvuldigen |
| Wortel | Iteratieve benadering |
De vierkantswortel in detail
De vierkantswortel is het lastigste onderdeel, omdat het fundamenteel anders werkt dan optellen of vermenigvuldigen. Daarom gaan we er extra aandacht aan besteden. Ik ga het rustig, intuïtief en stap-voor-stap uitleggen, met visuele schema’s, en daarna pas iets technischer.
🧠 Hoe rekent een CPU de vierkantswortel?
Belangrijk om eerst te weten
Een CPU:heeft geen simpele “wortel-poort”
Hij kan alleen:
– optellen
– aftrekken
– vermenigvuldigen
– delen
– bits schuiven
➡️ Een vierkantswortel wordt dus benaderd, niet “uitgerekend in één stap”.
1️⃣ Het basisidee (mensentaal)
We zoeken een getal X zodat:
X maal X ≈ N (N = getal waar we de wortel van zoeken VB de 25 in √25 = 5 25=N en 5=X)
Bijvoorbeeld:
√25 = 5
Maar voor:
√10 ≈ 3.162277…
is geen exact binair antwoord, dus we moeten steeds beter gokken.
2️⃣ De belangrijkste methode: Newton–Raphson
Dit is wat moderne CPU’s (in hardware!) gebruiken.
Formule:
xₙ₊₁ = (xₙ + N / xₙ) / 2
In woorden:
Neem een gok → deel → neem het gemiddelde → herhaal
3️⃣ Visueel voorbeeld: √25
Startgok x₀ = 10
Iteratie 1 25 / 10 = 2.5 (10 + 2.5) / 2 = 6.25
Iteratie 2 25 / 6.25 = 4 (6.25 + 4) / 2 = 5.125
Iteratie 3 25 / 5.125 ≈ 4.88 (5.125 + 4.88) / 2 ≈ 5.002
Convergeert razendsnel naar 5
4️⃣ Wat doet de CPU nu echt?
In hardware ziet dit eruit als:
┌───────────┐
│ Guess x │
└─────┬─────┘
┌───────────┐
│ Divide N/x │
└─────┬─────┘
┌───────────┐
│ Add x + N/x │
└─────┬─────┘
┌───────────┐
│ Divide by 2 │
└─────┬─────┘
New Guess
Dat is letterlijk wat er in de FPU gebeurt.
5️⃣ Maar hoe weet de CPU waar te beginnen?
Slimme truc: exponent-halvering
Bij floating-point getallen (IEEE-754):
N = mantissa × 2^exponent
Dan geldt:
√N = √mantissa × 2^(exponent/2)
De CPU:
Halveert de exponent (bit-operatie!)
Gebruikt een kleine lookup table voor een eerste gok
Dit maakt de start al bijna goed.
6️⃣ Hoeveel iteraties zijn nodig?
| Type | Iteraties |
| float (32-bit) | 2–3 |
| double (64-bit) | 3–5 |